Loncat ke navigasi

Sejarah

Sir Isaac Newton adalah salah seorang penemu dan kontributor kalkulus yang terkenal.

Perkembangan

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Maria Gaetana Agnesi

Pengaruh penting

Prinsip-prinsip dasar

Limit dan kecil tak terhingga

Definisi limit: kita katakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati titik p adalah L apabila untuk setiap bilangan ε > 0 apapun, terdapat bilangan δ > 0, sedemikian rupanya: ${\displaystyle 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon }$

Diberikan fungsi f(x) yang terdefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L, dan menuliskan:

${\displaystyle \lim _{x\to p}{f(x)}=L}$

jika, untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

${\displaystyle 0<|x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon \,}$

Turunan

Grafik fungsi turunan.

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over {h}}}$,

${\displaystyle f'(x)=\lim _{z\to x}{f(z)-f(x) \over {z-x}}}$

Garis singgung pada (x, f(x)). Turunan f'(x) sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut.

Perhatikan bahwa ekspresi ${\displaystyle {f(x+h)-f(x) \over {h}}}$ pada definisi turunan di atas merupakan gradien dari garis sekan yang melewati titik (x,ƒ(x)) dan (x+h,ƒ(x)) pada kurva ƒ(x). Apabila kita mengambil limit h mendekati 0, maka kita akan mendapatkan kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva ƒ(x) pada titik x. Hal ini berarti pula garis singgung suatu kurva merupakan limit dari garis sekan, demikian pulanya turunan dari suatu fungsi ƒ(x) merupakan gradien dari fungsi tersebut.^[1]

Sebagai contoh, untuk menemukan gradien dari fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ pada titik (3,9):

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(3)&=\lim _{h\to 0}{(3+h)^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{9+6h+h^{2}-9 \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}{6h+h^{2} \over {h}}\\&=\lim _{h\to 0}(6+h)\\&=6\end{aligned}}}$

Garis singgung sebagai limit dari garis sekan. Turunan dari kurva f(x) di suatu titik adalah kemiringan dari garis singgung yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Kemiringan ini ditentukan dengan memakai nilai limit dari kemiringan garis sekan.

Notasi pendiferensialan

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}}(x),}$  ataupun  ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x).}$

Notasi Newton, juga disebut sebagai notasi titik, menempatkan titik di atas fungsi untuk menandakan turunan. Apabila y = ƒ(t), maka ${\displaystyle {\dot {y}}}$ mewakili turunan y terhadap t. Notasi ini hampir secara eksklusif digunakan untuk melambangkan turunan terhadap waktu. Notasi ini sering terlihat dalam bidang fisika dan bidang matematika yang berhubungan dengan fisika.

${\displaystyle D_{x}y\,}$   atau   ${\displaystyle D_{x}f(x)\,}$.

	Notasi Leibniz	Notasi Lagrange	Notasi Newton	Notasi Euler
Turunan ƒ(x) terhadap x	${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)}$	ƒ′(x)	${\displaystyle {\dot {y}}}$ dengan y = ƒ(x)	${\displaystyle D_{x}f(x)\,}$

Integral

Integral dapat dianggap sebagai perhitungan luas daerah di bawah kurva ƒ(x), antara dua titik a dan b.

Integral merupakan suatu objek matematika yang dapat diinterpretasikan sebagai luas wilayah ataupun generalisasi suatu wilayah. Proses menemukan integral suatu fungsi disebut sebagai pengintegralan ataupun integrasi. Integral dibagi menjadi dua, yaitu: integral tertentu dan integral tak tentu. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan integral adalah ${\displaystyle \int \,}$, seperti huruf S yang memanjang (S singkatan dari "Sum" yang berarti penjumlahan).^[1]

Integral tertentu

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\,,}$

Seiring dengan semakin banyaknya subinterval dan semakin sempitnya lebar subinterval yang diambil, luas keseluruhan batangan akan semakin mendekati luas daerah di bawah kurva.

${\displaystyle a=x_{0}\leq x_{1}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq x_{n}=b.\,\!}$

Himpunan ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},x_{n}\}\,}$ tersebut kita sebut sebagai partisi [a,b], yang membagi [a,b] menjadi sejumlah n subinterval ${\displaystyle [x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\ldots ,[x_{n-1},x_{n}]}$. Lebar subinterval pertama [x₀,x₁] kita nyatakan sebagai Δx₁, demikian pula lebar subinterval ke-i kita nyatakan sebagai Δx_i = x_i - x_{i - 1}. Pada tiap-tiap subinterval inilah kita pilih suatu titik sembarang dan pada subinterval ke-i tersebut kita memilih titik sembarang t_i. Maka pada tiap-tiap subinterval akan terdapat batangan persegi panjang yang lebarnya sebesar Δx dan tingginya berawal dari sumbu x sampai menyentuh titik (t_i, ƒ(t_i)) pada kurva. Apabila kita menghitung luas tiap-tiap batangan tersebut dengan mengalikan ƒ(t_i)· Δx_i dan menjumlahkan keseluruhan luas daerah batangan tersebut, kita akan dapatkan:

${\displaystyle S_{p}=\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}$

Penjumlahan S_p disebut sebagai penjumlahan Riemann untuk ƒ pada interval [a,b]. Perhatikan bahwa semakin kecil subinterval partisi yang kita ambil, hasil penjumlahan Riemann ini akan semakin mendekati nilai luas daerah yang kita inginkan. Apabila kita mengambil limit dari norma partisi ${\displaystyle \lVert P\rVert }$ mendekati nol, maka kita akan mendapatkan luas daerah tersebut.^[19]

Diberikan ƒ(x) sebagai fungsi yang terdefinisikan pada interval tertutup [a,b]. Kita katakan bahwa bilangan I adalah integral tertentu ƒ di sepanjang [a,b] dan bahwa I adalah limit dari penjumlahan Riemann ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}$ apabila kondisi berikut dipenuhi: Untuk setiap bilangan ε > 0 apapun terdapat sebuah bilangan δ > 0 yang berkorespondensi dengannya sedemikian rupanya untuk setiap partisi ${\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ di sepanjang [a,b] dengan ${\displaystyle \lVert P\rVert <\delta }$ dan pilihan t_i apapun pada [x_{k - 1}, t_i], kita dapatkan

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}-I\right|<\epsilon .}$

${\displaystyle \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}=I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x=I=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

Contoh

Sebagai contohnya, apabila hendak menghitung integral tertentu ${\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx}$, yakni mencari luas daerah A di bawah kurva y=x pada interval [0,b], b>0, maka perhitungan integral tertentu ${\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx}$ sebagai limit dari penjumlahan Riemannnya adalah ${\displaystyle \lim _{\lVert P\rVert \to 0}\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}$

${\displaystyle P=\{0,{\frac {b}{n}},{\frac {2b}{n}},{\frac {3b}{n}},\ldots ,{\frac {nb}{n}}\}}$ dan ${\displaystyle t_{i}={\frac {ib}{n}}}$, sehingga:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{b}f(x)\,dx&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {ib}{n}}.{\frac {b}{n}}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {ib^{2}}{n^{2}}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}i\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{n^{2}}}.{\frac {n(n+1)}{2}}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {b^{2}}{2}}(1+{\frac {1}{n}})\\\end{aligned}}}$

Seiring dengan n mendekati tak terhingga dan norma partisi ${\displaystyle \lVert P\rVert }$ mendekati 0, maka didapatkan:

${\displaystyle \int _{0}^{b}f(x)\,dx=A={\frac {b^{2}}{2}}}$

Integral tak tentu

Apabila

${\displaystyle F'\!(x)={\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}$

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalah integral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

${\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C}$

Misalkan terdapat sebuah fungsi ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

${\displaystyle \int x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}+C}$

Perhatikan bahwa integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu dalam bentuk ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$ adalah sebuah bilangan, manakala integral tak tentu:${\displaystyle \int f(x)dx}$ adalah sebuah fungsi yang memiliki tambahan konstanta sembarang C.

Teorema dasar

Jika sebuah fungsi f adalah kontinu pada interval [a,b] dan jika F adalah fungsi yang mana turunannya adalah f pada interval (a,b), maka

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

Lebih lanjut, untuk setiap x di interval (a,b),

${\displaystyle F'(x)={\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).}$

Sebagai contohnya apabila kita hendak menghitung nilai integral ${\displaystyle \int _{a}^{b}x\,dx}$, daripada menggunakan definisi integral tertentu sebagai limit dari penjumlahan Riemann (lihat bagian atas), kita dapat menggunakan teorema dasar kalkulus dalam menghitung nilai integral tersebut.

Anti derivatif dari fungsi ${\displaystyle f(x)=x\,}$ adalah ${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+C}$. Oleh sebab itu, sesuai dengan teorema dasar kalkulus, nilai dari integral tertentu ${\displaystyle \int _{a}^{b}x\,dx}$ adalah:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}x\,dx&=F(b)-F(a)\\&={\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{b}x\,dx={\frac {b^{2}}{2}}}$

Aplikasi

Pola spiral logaritma cangkang Nautilus adalah contoh klasik untuk menggambarkan perkembangan dan perubahan yang berkaitan dengan kalkulus.